這條定理是 緊緻性 概念線上的一站——序列觀點（序列緊緻性）背後的支撐論證就是它。

波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理（Bolzano–Weierstrass Theorem）說明：在 歐幾里得空間 ℝⁿ 裡，任何 有界 的無限序列，都存在收斂子序列（convergent subsequence）。

論證的直覺：有限範圍裝不下不堆積的無限

核心直覺是一種擠壓：有界代表所有的點被塞進一個有限大小的範圍，而點有無限多個——有限的空間裝無限多個點，它們就一定會在某處堆積起來。

把這個直覺走得更具體：拿裝著整個序列的區間對半切，兩半之中至少有一半裝著無限多個項；挑那一半、再對半切、再挑裝著無限多項的那半……每切一次範圍縮小一半，而手上永遠握著無限多個項。這個不斷縮小的範圍最後收束到一個點——有無限多個項擠在它任意近的地方，這個點叫聚點（accumulation point）。沿著越來越靠近聚點的項挑出一串，就是要找的收斂子序列。

它支撐序列緊緻性

序列緊緻性 說的是：集合裡任何無限序列都有收斂子序列、而且極限仍留在集合內。這句話在 ℝⁿ 的閉且有界集合上成立，正是兩塊拼圖各司其職：有界讓本定理擠出收斂子序列，閉 保證收斂到的極限留在集合內、漏不出去。

有限維前提不能省

「有限的空間裝無限多個點就一定堆積」這個直覺，依賴空間的維度有限。無限維空間裡方向多到用不完，一串點可以每一步都閃進新的方向、彼此保持固定距離，塞進有界範圍也永遠擠不出堆積——這正是 海涅–博雷爾定理 在無限維失效的同一個根源。