這個概念是理解 緊緻性 的前置之一——「閉且有界」這個常見判準的後半就是它。

有界（bounded）指整個集合裝得進一個有限大小的範圍：存在一個夠大的區間（在平面上是一個夠大的圓、更高維是一個夠大的球），能把集合的每一個點都圈進去。集合可以有無限多個點、形狀可以任意複雜，只要它延伸的範圍有限，就是有界。

一個抓得到的對照

[0,1] 有界：拿區間 [-10, 10] 就整個圈住了。平面上的單位圓盤也有界：半徑 2 的圓就足夠。

整條數線 ℝ 無界：任何有限大小的區間都圈不完它。[0,∞)（0 以上的所有數）同樣無界——它有一個端點，但往右延伸沒有盡頭，有限的範圍永遠追不上。

有界與閉是兩個獨立的性質

有界管「延伸多遠」，閉 管「邊界收不收」，兩個判準互相獨立、四種組合都存在：

  • [0,1]：閉且有界。
  • (0,1)：有界，但漏掉邊界點、非閉。
  • [0,∞)：閉（唯一的邊界點 0 有收進來），但無界。
  • (0,∞)：既非閉也無界。

這組獨立性正是「閉且有界」兩個條件都要寫的原因——在 海涅–博雷爾定理 裡少一個都換不到緊緻。