這個概念是理解 緊緻性 的前置之一——「閉且有界」這個常見判準的前半就是它。

閉集合（closed set）是把自己的邊界全部收進來的集合：所有貼在集合邊緣的點，都被包含在集合內。

它有一個更好用的等價說法：集合內任何收斂序列的極限，仍然留在集合內。在集合裡沿著一串點一路逼近某個目標，那個目標保證還在集合裡，跑不出去。英文 closed 的語感正來自這裡——這個集合對「取極限」這個操作是封閉的（closed under limits）。

一個抓得到的對照

[0,1]（大於等於 0 且小於等於 1 的所有數）是閉集合。序列 0.9, 0.99, 0.999, … 全部落在集合內，它收斂到 1，而 1 也在集合內——極限被接住了。

(0,1)（大於 0 且小於 1）拿同一串序列來看：每一項都在集合內，極限卻是集合外的 1——極限漏出去了，所以 (0,1) 屬於另一種身分：開集，一個把邊界排除在外的集合。

開與閉是兩個獨立的判準

開與閉各自有自己的定義，一個集合的身分要分別檢查。[0,1)（含 0、含到 1 之前）兩邊判準都過不了：它包含邊界點 0 所以稱不上開，又漏掉邊界點 1 所以稱不上閉。反過來，整條數線 ℝ 兩個判準都通過——它沒有邊界可漏、每個點周圍也都有餘裕，所以既開又閉。把「閉」理解成「開的相反」會在這兩個例子上判錯，可靠的做法是回到各自的定義。