這個概念是理解 緊緻性 的前置之一——「閉且有界等於緊緻」這條捷徑只在這種空間成立。

歐幾里得空間（Euclidean space）是數線、平面、立體空間的統稱，記作 ℝⁿ：由 n 個實數座標構成的空間。ℝ¹ 是數線（一個座標定位一個點）、ℝ² 是平面（兩個座標）、ℝ³ 是立體空間（三個座標），依此類推到任意有限個座標。

除了座標，它還自帶最直覺的距離：兩點之間的直線距離，也就是用畢氏定理算出來的那個數。日常幾何直覺——遠近、範圍、圓與球——都建立在這個距離上。

「有限維」的精確意義

ℝⁿ 的 n 是有限的：描述空間裡的一個點，只需要有限多個數字。這件事平常感覺不到它是個「條件」，因為日常接觸的空間全是有限維。

對照才看得出它的份量：由函數構成的空間是無限維的——描述一個函數，需要知道它在無限多個位置的值，沒有任何有限組座標能把一個函數釘死。分析學裡許多在 ℝⁿ 成立的好性質，跨進無限維就失效，海涅–博雷爾定理 是其中最著名的例子。讀數學敘述時看到「在 ℝⁿ 中」這個前提，它畫下的正是這條有限維的界線。